sin^2tdt定积分
∫tsin²tdt=? -
如图所示，
x=sin^2 t dx=dsin^2 t 原式=∫tdsin^2 t =tsin^2 t-∫sin^2 t dt =tsin^2 t-∫(1-cos2t)dt/2 = tsin^2 t-1/2∫dt+1/2∫cos2tdt = tsin^2 t-t/2+1/4∫cos2td2t = tsin^2 t-t/2+sin2t/4+C =xarcsin√x-arcsin√x/2+2sintcost/4+C =xarcsin√x-arcsin后面会介绍。
如图所示，
x=sin^2 t dx=dsin^2 t 原式=∫tdsin^2 t =tsin^2 t-∫sin^2 t dt =tsin^2 t-∫(1-cos2t)dt/2 = tsin^2 t-1/2∫dt+1/2∫cos2tdt = tsin^2 t-t/2+1/4∫cos2td2t = tsin^2 t-t/2+sin2t/4+C =xarcsin√x-arcsin√x/2+2sintcost/4+C =xarcsin√x-arcsin后面会介绍。
如图，用换元和sin的周期对称性做的。如图，如有疑问或不明白请追问哦！
原式=∫[0,π/2]cos²tsin²tdt =∫[0,π/2](1+cos2t)/2*(1-cos2t)/2*dt =x=2t=1/8*∫[0,π](1+cosx)(1-cosx)dx =1/8*∫[0,π]sin²xdx =1/8*(x/2-sin2x/4)|[0,π]=π/16
计算不定积分∫xsin^2xdx -
先降幂，再求积分答案如图所示，
套公式，方法如下，请作参考：
定积分求极限问题。 -
如图，利用换元法来证明。
计算一下即可求出结果。
求不定积分 -
令√x=t, 则x=t², dx=2tdt 原式=∫ 2tdt/(tsin²t)=2∫ csc²tdt =-2cott+C =-2cot√x+C C为任意常数，
tcos(2t)dt+1/2∫(0→π/4)tdt =1/4∫(0→π/4)td(sin(2t))+t^2/4|(0→π/4)=tsin(2t)/4|(0→π/4)-1/4∫(0→π/4)sin(2t)dt+t^2/4|(0→π/4)=tsin(2t)/4|(0→π/4)+cos(2t)/8|(0→π/4)+t^2/4|(0→π/4)=π/16-1/8+π^2/64 等会说。